Sei x eine reelle Zahl. Eine Funktion von x l\344sst sich (analog zu den Zahlenfolgen) wie im folgenden Beispiel durch eine Zuordnungsvorschrift mithilfe des Zuordnungsoperators "->" definieren:f := x -> -x^2+1; g := x -> (x^7-x^5)/(2*x^6+x^5-2*x^4-3*x^3-x^2+2*x+1);

NiM+SSJmRzYiZio2I0kieEdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlLCYqJDkkIiIjISIiIiIiRjFGJUYlRiU=NiM+SSJnRzYiZio2I0kieEdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlKiYsJiokOSQiIigiIiIqJEYvIiImISIiRjEsMCokRi8iIiciIiNGMkYxKiRGLyIiJSEiIyokRi8iIiQhIiQqJEYvRjhGNEYvRjhGMUYxRjRGJUYlRiU=

Die eindimensionalen Funktionen k\366nnen mithilfe des Befehls "piecewise(Bedingung1,Wert1,...,BedingungN,WertN)" auch st\374ckweise definiert werden. Beispiel:h := x -> piecewise(x <> 2, sin(x), x = 2, 0);

NiM+SSJoRzYiZio2I0kieEdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlLUkqcGllY2V3aXNlR0kqcHJvdGVjdGVkR0YuNiYwOSQiIiMtSSRzaW5HNiRGLkkoX3N5c2xpYkdGJTYjRjEvRjFGMiIiIUYlRiVGJQ==

Eine Auswertung der Funktion an einer speziellen Stelle (z.B. im Punkt x=2.5) erfolgt durch:f := x -> -x^2+1: g := x -> (x^7-x^5)/(2*x^6+x^5-2*x^4-3*x^3-x^2+2*x+1): h := x -> piecewise(x <> 2, sin(x), x = 2, 0): f(2.5); g(2.5); h(2.5);

NiMkISREJiEiIw==NiMkIitRPCpHNiIhIio=NiMkIitUOXMlKWYhIzU=

Aufgaben: Definiere die folgenden Funktionen a) f(x)=1/sqrt(x) b) f(x)=x^3-x c) f(x)=x*(x-1)/(x^4-2)

Die Ableitung einer von der Variablen x abh\344ngigen Funktion f l\344sst sich mit der Funktion "D(f)" (bzw. "D(f)(x)") oder alternativ mit der Funktion "diff(f(x), x)" berechnen. Man achte auf die Beziehung zwischen "D" und "diff", denn es gilt "D(f)(x) = diff(f(x), x)" (bzw. "D(f) = unapply(diff(f(x), x), x)"). Die Funktion "unapply()" wandelt hierbei einen Funktionsausdruck in eine Funktion um. Beispiel:f := x -> -x^2+1; D(f); diff(-x^2+1, x); g := x -> (x^7-x^5)/(2*x^6+x^5-2*x^4-3*x^3-x^2+2*x+1); D(g); diff((x^7-x^5)/(2*x^6+x^5-2*x^4-3*x^3-x^2+2*x+1), x);

NiM+SSJmRzYiZio2I0kieEdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlLCYqJDkkIiIjISIiIiIiRjFGJUYlRiU=NiNmKjYjSSJ4RzYiRiY2JEkpb3BlcmF0b3JHRiZJJmFycm93R0YmRiYsJDkkISIjRiZGJkYmNiMsJEkieEc2IiEiIw==NiM+SSJnRzYiZio2I0kieEdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlKiYsJiokOSQiIigiIiIqJEYvIiImISIiRjEsMCokRi8iIiciIiNGMkYxKiRGLyIiJSEiIyokRi8iIiQhIiQqJEYvRjhGNEYvRjhGMUYxRjRGJUYlRiU=NiNmKjYjSSJ4RzYiRiY2JEkpb3BlcmF0b3JHRiZJJmFycm93R0YmRiYsJiomLCYqJDkkIiInIiIoKiRGLiIiJSEiJiIiIiwwRi0iIiMqJEYuIiImRjRGMSEiIyokRi4iIiQhIiQqJEYuRjYhIiJGLkY2RjRGNEY+RjQqKCwmKiRGLkYwRjRGN0Y+RjRGNUY5LC5GNyIjN0YxRjhGOiEiKUY9ISIqRi5GOUY2RjRGNEY+RiZGJkYmNiMsJiomLCYqJEkieEc2IiIiJyIiKCokRiciIiUhIiYiIiIsMEYmIiIjKiRGJyIiJkYuRishIiMqJEYnIiIkISIkKiRGJ0YwISIiRidGMEYuRi5GOEYuKigsJiokRidGKkYuRjFGOEYuRi9GMywuRjEiIzdGK0YyRjQhIilGNyEiKkYnRjNGMEYuRi5GOA==

Zur Bestimmung von Ableitungen h\366herer Ordnung (z.B. der N-ten Ableitung) ben\366tigen wir die Funktion "diff(f(x), x$N)". Mehr Informationen zum Differenzieren von Funktionen folgt sp\344ter. Beispiel:diff(-x^2+1, x$1); diff(-x^2+1, x$2); diff(-x^2+1, x$3);

NiMsJEkieEc2IiEiIw==NiMhIiM=NiMiIiE=

Um die Ableitung in einem speziellen Punkt auszuwerten, gehen wir wie folgt vor:f := x -> -x^2+1; D(f)(2.5);

NiM+SSJmRzYiZio2I0kieEdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlLCYqJDkkIiIjISIiIiIiRjFGJUYlRiU=NiMkISNdISIi

Aufgaben: Bestimme die ersten beiden Ableitungen der Funktionen a) f(x)=1/sqrt(x) b) f(x)=x^3-x c) f(x)=x*(x-1)/(x^4-2)

Die Nullstellen einer Funktion f lassen sich mithilfe der Funktion "solve(f(x)=0, x)" berechnen, wobei die Gleichung f(x)=0 von x abh\344ngig ist und nach x aufgel\366st wird. Beispiel:solve(-x^2+1=0, x); solve((x^7-x^5)/(2*x^6+x^5-2*x^4-3*x^3-x^2+2*x+1)=0, x);

NiQhIiIiIiI=NiciIiFGI0YjRiNGIw==

Speziell f\374r Polynome (in einer Ver\344nderlichen) gibt es mit der Funktion "roots(Polynom)" eine weitere M\366glichkeit die Nullstellen inklusive ihrer Vielfachheit zu bestimmen. Das Ausgabeformat "[x, a_x]" enth\344lt die Nullstelle x und ihre Vielfachheit a_x. Beispiel:roots(-x^2+1); roots(2*x^3+11*x^2+12*x-9);

NiM3JDckIiIiRiU3JCEiIkYlNiM3JDckIyIiIiIiI0YmNyQhIiRGJw==

Aufgaben: Bestimme die Nullstellen und die zugeh\366rigen Vielfachheiten der Polynome a) f(x)=x^2-9 b) f(x)=x^3-3x^2+3x-1 c) f(x)=(x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3)/20+2 d) f(x)=x^3+3x^2-3 e) f(x)=x^3-2x-5

Um die Extremwerte, Wendepunkte und Sattelpunkte einer Funktion f zu berechnen, verwenden wir keine MAPLE-internen Funktionen, da Funktionen wie z.B. "extrema()" oftmals falsche oder unvollst\344ndige Ergebnisse liefern, wie die folgenden Beispiele zeigen:extrema(-x^4+x^2, x); extrema((x^7-x^5)/(2*x^6+x^5-2*x^4-3*x^3-x^2+2*x+1), x);

NiM8IyIiIQ==NiM8IyIiIQ==

Wir beginnen mit der Bestimmung von Extremwerten x_0 einer Funktion f, d.h. globale und relative Maxima und Minima. Diese m\374ssen den folgenden Bedingungen gen\374gen:Hochpunkt (Maximum): f'(x_0)=0 (notwendige Bedingung) f''(x_0)<0 (hinreichende Bedingung) => x_0 relatives Maximum f(x)<=f(x_0) f\374r alle x im Definitionsbereich von f => x_0 globales MaximumTiefpunkt (Minimum): f'(x_0)=0 (notwendige Bedingung) f''(x_0)>0 (hinreichende Bedingung) => x_0 relatives Minimum f(x)>=f(x_0) f\374r alle x im Definitionsbereich von f => x_0 globales Minimum Beispiel (mit zwei globalen Maxima und einem Minimum, f(x)=-x^4+x^2):f := x -> -x^4+x^2; 1. M\366glichkeit: (Direktes \334berpr\374fen) solve(diff(f(x), x)=0, x); (notwendige Bedingung) diff(f(x), x$2); -12*0^2+2; (hinreichende Bedingung) -12*(1/2*sqrt(2))^2+2; (hinreichende Bedingung) -12*(-1/2*sqrt(2))^2+2; (hinreichende Bedingung) assume(x, real); is(f(x)>=f(0)); is(f(x)<=f(1/2*sqrt(2))); is(f(x)<=f(-1/2*sqrt(2))); 2. M\366glichkeit: (Nachteil: kein Test auf Globalit\344t) solve(diff(f(x), x)=0, x); (notwendige Bedingung) with(Student[MultivariateCalculus]): SecondDerivativeTest(f(x), [x]=[0]); SecondDerivativeTest(f(x), [x]=[1/2*sqrt(2)]); SecondDerivativeTest(f(x), [x]=[-1/2*sqrt(2)]);

NiM+SSJmRzYiZio2I0kieEdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlLCYqJDkkIiIlISIiKiRGLiIiIyIiIkYlRiVGJQ==NiUiIiEsJCokIiIjIyIiIkYmRicsJEYlIyEiIkYmNiMsJiokSSN4fGlyRzYiIiIjISM3RiciIiI=NiMiIiM=NiMhIiU=NiMhIiU=NiNJJmZhbHNlR0kqcHJvdGVjdGVkR0YkNiNJJXRydWVHSSpwcm90ZWN0ZWRHRiQ=NiNJJXRydWVHSSpwcm90ZWN0ZWRHRiQ=NiUiIiEsJCokIiIjIyIiIkYmRicsJEYlIyEiIkYmNiUvSSlMb2NhbE1pbkc2IjcjNyMiIiEvSSlMb2NhbE1heEdGJTciL0knU2FkZGxlR0YlRis=NiUvSSlMb2NhbE1pbkc2IjciL0kpTG9jYWxNYXhHRiU3IzcjLCQqJCIiIyMiIiJGLUYuL0knU2FkZGxlR0YlRiY=NiUvSSlMb2NhbE1pbkc2IjciL0kpTG9jYWxNYXhHRiU3IzcjLCQqJCIiIyMiIiJGLSMhIiJGLS9JJ1NhZGRsZUdGJUYm

F\374r die Bestimmung der Wendepunkte (oder gar Sattelpunkte) x_0 einer Funktion f pr\374fen wir die Bedingungen, denen ein Wendepunkt (bzw. Sattelpunkt) gen\374gen muss: Wendepunkt (bzw. Sattelpunkt): f''(x_0)=0 (notwendige Bedingung) f'''(x_0)!=0 (hinreichende Bedingung) => x Wendepunktx_0 ist ein Sattelpunkt, falls zus\344tzlich gilt f'(x_0)=0 (notwendige Bedingung) => x Sattelpunkt Beispiel: (mit einem Sattelpunkt, f(x)=x^3)f := x -> x^3; solve(diff(f(x), x$2)=0, x); (notwendige Bedingung) diff(f(x), x$3); is(6<>f(0)); (hinreichende Bedingung) diff(f(x), x$1); is(3*0^2=0);

NiM+SSJmRzYiZio2I0kieEdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlKiQ5JCIiJEYlRiVGJQ==NiMiIiE=NiMiIic=NiNJJXRydWVHSSpwcm90ZWN0ZWRHRiQ=NiMsJCokSSN4fGlyRzYiIiIjIiIkNiNJJXRydWVHSSpwcm90ZWN0ZWRHRiQ=

Aufgaben: Bestimme die Extremwerte, Wendepunkte (bzw. Sattelpunkte) der Funktionen a) f(x)=5x^5-5x^3 b) f(x)=(1/2)x^4-x^2-2 c) f(x)=(x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3)/20+2 d) f(x)=3x^3\342\210\2225x^2 +8 e) f(x)=(x^2+x+1)/(x^2+x-2) f) f(x)=(1/2)*ln(1+exp(2x))-arctan(exp(x)) im Intervall [-1,1]

Um festzustellen, ob eine Funktion (Y-)Achsensymmetrisch, Punktsymmetrisch oder nicht symmetrisch ist, verwenden wir f\374r die Y-Achsensymmetrie den Funktionsausdruck "testeq(f(-x)=f(x))" und f\374r die Punktsymmetrie (zum Ursprung!!!) den Funktionsausdruck "testeq(f(-x)=-f(x))". Diese Funktionen liefern entweder das Ergebnis true, insofern die Gleichheit f\374r alle x aud dem Definitionsbereich erf\374llt ist, oder andernfalls das Ergebnis false. Eine Funktion f hei\337t gerade, falls die Funktion "testeq(f(-x)=f(x))" das Resultat true liefert. Eine Funktion f hei\337t ungerade, falls die Funktion "testeq(f(-x)=-f(x))" das Resultat true liefert. Beispiel:f := x -> -x^2+1; testeq(f(-x)=f(x)); testeq(f(-x)=-f(x)); g := x -> (x^7-x^5)/(2*x^6+x^5-2*x^4-3*x^3-x^2+2*x+1); testeq(g(-x)=g(x)); testeq(g(-x)=-g(x)); h := x -> 2*x^5; testeq(h(-x)=h(x)); testeq(h(-x)=-h(x));

NiM+SSJmRzYiZio2I0kieEdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlLCYqJDkkIiIjISIiIiIiRjFGJUYlRiU=NiNJJXRydWVHSSpwcm90ZWN0ZWRHRiQ=NiNJJmZhbHNlR0kqcHJvdGVjdGVkR0YkNiM+SSJnRzYiZio2I0kieEdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlKiYsJiokOSQiIigiIiIqJEYvIiImISIiRjEsMCokRi8iIiciIiNGMkYxKiRGLyIiJSEiIyokRi8iIiQhIiQqJEYvRjhGNEYvRjhGMUYxRjRGJUYlRiU=NiNJJmZhbHNlR0kqcHJvdGVjdGVkR0YkNiNJJmZhbHNlR0kqcHJvdGVjdGVkR0YkNiM+SSJoRzYiZio2I0kieEdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlLCQqJDkkIiImIiIjRiVGJUYlNiNJJmZhbHNlR0kqcHJvdGVjdGVkR0YkNiNJJXRydWVHSSpwcm90ZWN0ZWRHRiQ=

Bemerke: Die Punktsymmetrie in einem beliebigen Punkt kann mit diesem Test nicht erfasst werden! Ebenso l\344sst sich die Y-Achsensymmetrie bei einer verschobenen Y-Achse nicht nachweisen. Zum Beispiel ist die Funktion f(x)=2*x^5+1 zwar Punktsymmetrisch im Punkt [x,y]=[0,1] und die Funktion f(x)=(x-1)^2 zwar Achsensymmetrisch zur Achse [1,y], aber der obige Test liefert keine Symmetrien:h := x -> 2*x^5+1; testeq(h(-x)=h(x)); testeq(h(-x)=-h(x)); i := x -> (x-1)^2; testeq(i(-x)=i(x)); testeq(i(-x)=-i(x));

NiM+SSJoRzYiZio2I0kieEdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlLCYqJDkkIiImIiIjIiIiRjFGJUYlRiU=NiNJJmZhbHNlR0kqcHJvdGVjdGVkR0YkNiNJJmZhbHNlR0kqcHJvdGVjdGVkR0YkNiM+SSJpRzYiZio2I0kieEdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlKiQsJjkkIiIiISIiRi8iIiNGJUYlRiU=NiNJJmZhbHNlR0kqcHJvdGVjdGVkR0YkNiNJJmZhbHNlR0kqcHJvdGVjdGVkR0Yk

Aufgaben: \334berpr\374fe die folgenden Funktionen hinsichtlich ihrer Symmetrieeigenschaften a) f(x)=5x^5-5x^3 b) f(x)=(1/2)x^4-x^2-2 c) f(x)=(x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3)/20+2 d) f(x)=abs(x+sin(x)) e) f(x)=x^3+x^2*sin(x) f) f(x)=sqrt(1+x+x^2)-sqrt(1-x+x^2)\334berpr\374fe, ob die Funktionen in ihrem Definitionsbereich gerade oder ungerade sind g) f(x)=x^2-x*sin(x) h) f(x)=sqrt(1+x+x^2)-sqrt(1-x+x^2)

Der Monotonienachweis einer Funktion f ist in Maple leider nicht vollst\344ndig realisierbar. Per Definition fordern die Monotonieeigenschaften (z.B. x<y => f(x)<f(y)) keine Differenzierbarkeit (nicht einmal die Stetigkeit) der Funktion f. F\374r stetig differenzierbare Funktionen f wissen wir jedoch: f'(x)>=0 f\374r alle x => f monoton wachsend f'(x)<=0 f\374r alle x => f monoton fallend f'(x)=0 f\374r endlich viele x => f streng monoton wachsend (bzw. fallend) Beispiel:f := x -> x^3; 1. M\366glichkeit (Test auf ganz IR) solve(D(f)(x)>=0, x); (Ergebnis: "x~" bedeutet "f\374r alle x") solve(D(f)(x)>0, x); (Ergebnis: alle x au\337er x=0, d.h. f'(x)=0 gilt nur f\374r x=0, also f\374r endlich viele => streng monoton wachsend) solve(D(f)(x)<=0, x); solve(D(f)(x)<0, x); (hierf\374r keine Ausgabe, da Bedingung nie erf\374llt) 2. M\366glichkeit (Test in einem bestimmten Intervall) f := x -> x^2; assume(0<x, x<infinity); is(D(f)(x), positive); assume(0>x, x>-infinity); is(D(f)(x), negative);

NiM+SSJmRzYiZio2I0kieEdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlKiQ5JCIiJEYlRiVGJQ==NiNJI3h8aXJHNiI=NiQtSSpSZWFsUmFuZ2VHNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYkLCRJKWluZmluaXR5R0YmISIiLUklT3BlbkdGKDYjIiIhLUYkNiRGLUYrNiMiIiE=NiM+SSJmRzYiZio2I0kieEdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlKiQ5JCIiI0YlRiVGJQ==NiNJJXRydWVHSSpwcm90ZWN0ZWRHRiQ=NiNJJXRydWVHSSpwcm90ZWN0ZWRHRiQ=

Die Steigung einer Funktion f in einem Punkt x entspricht gerade der Ableitung von f in x. Beispiel:f := x -> x^3; D(f)(0); D(f)(2.45);

NiM+SSJmRzYiZio2I0kieEdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlKiQ5JCIiJEYlRiVGJQ==NiMiIiE=NiMkIid2Kz0hIiU=

Aufgaben: Bestimme die Monotonieeigenschaften der Funktion a) f(x)=5x^5-5x^3 b) f(x)=(1/2)x^4-x^2-2 c) f(x)=(1/2)*ln(1+exp(2x))-arctan(exp(x))

Die Schnittpunkte einer Funktion f mit den Koordinatenachsen lassen sich ebenfalls mit der Funktion "solve" bestimmen. Dabei entsprechen die Schnittpunkte der Funktion f und der x-Achse gerade den oben behandelten Nullstellen von f. Die Berechnung des y-Achsenschnittpunktes erhalten wir trivialerweise durch den Funktionsaufruf "solve(f(0)=y, y)". Beispiel:f := x -> x^2+1; solve(f(0)=y, y);

NiM+SSJmRzYiZio2I0kieEdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlLCYqJDkkIiIjIiIiRjBGMEYlRiVGJQ==NiMiIiI=

Den Schnittpunkt (bzw. die Schnittpunkte) zweier Funktionen f und g erhalten wir ebenfalls mit der Funktion "solve", indem die betrachteten Funktionen gleichsetzt und nach x aufl\366st werden. Beispiel:solve((x+1)^2=-x^2+1, x); solve(x^2+1=-x^2-1, x); solve(x^2=x^2, x);

NiQiIiEhIiI=NiReIyIiIl4jISIiNiNJInhHNiI=

Aufgaben: Bestimme die Schnittpunkte der Funktionen a) f(x)=2x^2-2, g(x)=2x+2

Die \334berpr\374fung, ob eine Funktion f auf dem Intervall [a,b] (bzw. ]a,b[) stetig ist, l\344sst sich mithilfe der Funktion "iscont(f(x), x=a..b, 'closed')" (bzw. "iscont(f(x), x=a..b, 'open')") durchf\374hren. Man beachte, dass die Stetigkeit nicht auf halboffenen Intervallen ]a,b] (bzw. [a,b[) getestet werden kann. Beispiel:iscont(x^2, x=-infinity..infinity); (3. Argument default: 'open') iscont(x^2, x=-infinity..infinity, 'closed'); iscont(x^2, x=-infinity..infinity, 'open'); iscont(1/x, x=0..infinity); (3. Argument default: 'open') iscont(1/x, x=0..infinity, 'closed'); iscont(1/x, x=0..infinity, 'open');

NiNJJXRydWVHSSpwcm90ZWN0ZWRHRiQ=NiNJJXRydWVHSSpwcm90ZWN0ZWRHRiQ=NiNJJXRydWVHSSpwcm90ZWN0ZWRHRiQ=NiNJJXRydWVHSSpwcm90ZWN0ZWRHRiQ=NiNJJmZhbHNlR0kqcHJvdGVjdGVkR0YkNiNJJXRydWVHSSpwcm90ZWN0ZWRHRiQ=

Bei gebrochen-rationalen Funktionen sind (m\366gliche) Unstetigkeitsstellen durch die Nullstellen des Nenners gegeben, sogenannte Polstellen (isolierte Singularit\344ten). Diese Stellen geh\366ren nicht zum Definitionsbereich einer Funktion. Auch (stetige) hebbare Definitionsl\374cken geh\366ren zun\344chst nicht zum Definitionsbereich. Beide k\366nnen mit der Routinefunktion "discont(expression, variable)" lokalisiert werden. In welche dieser beiden Klassen die jeweilige Definitionsl\374cke f\344llt, bleibt zu \374berpr\374fen. Alternativ sei auch die Funktion "fdiscont()" genannt. Beispiel:discont(1/x, x); (Beispiel einer Polstelle) discont(1/(x^2-1), x); (Beispiel einer Polstelle) discont(tan(x), x); (Beispiel einer Polstelle) discont(sin(x), x); (Beispiel ohne Unstetigkeitsstellen) discont(sin(x)/x, x); (Beispiel einer hebbaren Definitionsl\374cke) discont((sqrt(x)-1)/(x-1), x); (Beispiel einer hebbaren Definitionsl\374cke)

NiM8IyIiIQ==NiM8JCEiIiIiIg==NiM8IywmKiZJI1BpR0kqcHJvdGVjdGVkR0YnIiIiSSVfWjZ8aXJHNiJGKEYoRiYjRigiIiM=NiM8Ig==NiM8IyIiIQ==NiM8JCIiISIiIg==

Beachte: Das letzte Beispiel ist nur f\374r x>=0 (mit x!=1) definiert. Da Maple daher nur die rechtsseitige Stetigkeit im Punkt 0 und nicht die beidseitige Stetigkeit testen kann, wird diese Stelle als Unstetigkeitsstelle ausgegeben. Abhilfe hierbei verschafft der rechtsseitige Grenzwert der Funktion f\374r x gegen 0, den wir im n\344chsten Abschnitt kennenlernen.Die Singularit\344ten lassen sich auch leicht mithilfe der Funktion "singular()" herausfinden. Beispiel:singular(1/x); singular(1/(x^2-1)); singular(tan(x)); singular(sin(x)/x); singular((sqrt(x)-1)/(x-1));

NiM8Iy9JInhHNiIiIiE=NiQ8Iy9JInhHNiIiIiI8Iy9GJSEiIg==NiM8Iy9JInhHNiIsJiomSSVfWjF8aXJHRiYiIiJJI1BpR0kqcHJvdGVjdGVkR0YsRipGKkYrI0YqIiIjNiM8Iy9JInhHNiIiIiE=NiM8Iy9JInhHNiIiIiI=

Aufgaben: Bestimme die Unstetigkeitsstellen und den Definitionsbereich der Funktionen a) f(x)=(x^3-2x^2-5x+6)/(x^2-x-2)+4 b) f(x)=1/sin(x) c) f(x)=((1+x)^n-1)/x d) f(x)=(ln(1+x)-ln(1-x))/x e) f(x)=(root[3](x^2+1)-1)/x^2 f) f(x)=(2x^4+x^3-12x^2-x+10)/(4x^3-14x^2-28x-10)Man bestimme den reellen Parameter a derart, dass die folgende Funktion \374berall stetig (bzw. stetig fortsetzbar auf ganz IR) ist g) f(x)=(x^2-(a+1)x+a)/(x^3-8)Untersuche die folgenden Funktionen auf Stetigkeit im angegebenen Punkt h) f(x)=x/(sqrt(x+1)-1) im Punkt x=0 i) f(x)=1/(1-x)-3/(1-x^3) im Punkt x=1

Der beidseitige Grenzwert einer Funktion f f\374r x gegen a wird mithilfe der Funktion "limit(f, x=a)" berechnet. Der linksseitige (bzw. rechtsseitige) Grenzwert l\344sst sich durch Anwendung von "limit(f, x=a, left)" (bzw. "limit(f, x=a, right)") bestimmt. Das Verhalten im Unendlichen einer Funktion f l\344sst sich dadurch untersuchen, indem wir f\374r a "infinity" (bzw. "-infinity") w\344hlen. Beispiele:limit(x^2, x=2); limit(1/x, x=infinity); limit(1/x, x=-infinity); limit(1/x, x=0); limit(1/x, x=0, left); limit(1/x, x=0, right);

NiMiIiU=NiMiIiE=NiMiIiE=NiNJKnVuZGVmaW5lZEdJKnByb3RlY3RlZEdGJA==NiMsJEkpaW5maW5pdHlHSSpwcm90ZWN0ZWRHRiUhIiI=NiNJKWluZmluaXR5R0kqcHJvdGVjdGVkR0Yk

Aufgaben: Bestimme die Grenzwerte f\374r a) f(x)=sin(x)/x f\374r x->0 (beidseitig) b) f(x)=(sqrt(x)-1)/(x-1) f\374r x->1 (beidseitig) und x->0 (rechtsseitig) c) f(x)=((1+x)^n-1)/x f\374r x->0 (beidseitig) d) f(x)=(ln(1+x)-ln(1-x))/x f\374r x->0 (beidseitig) e) f(x)=(root[3](x^2+1)-1)/x^2 f\374r x->0 (beidseitig) f) f(x)=(sqrt(1+x^2)-1)/x^2 f\374r x->0 (beideitig) g) f(x)=(root[3](1+x^2)-1)/x^2 f\374r x->0 (beidseitig) h) f(x)=(sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/x f\374r x->0 (beidseitig) i) f(x)=(1/x)-1/(exp(x)-1) f\374r x->0 (beidseitig) j) f(x)=(sin(x))^(1/(cos(x))^2) f\374r x->pi/2 (beidseitig) k) f(x)=ln(x^2-1)/((4/pi)*tan(x*pi/2)) f\374r x->1 (beidseitig)Man untersuche die folgenden Funktionen an den Stellen, an denen der Funktionsausdruck nicht definiert ist und \374berlege sich, ob sie sich in diesen Punkten stetig fortsetzen lassen. Untersuche auch das Verhalten f\374r x gegen +/- unendlich l) f(x)=(x^2-4)/(x^2-7x+10) m) f(x)=abs(x-1)/(x^2+2x-3)

Die Verkn\374pfung zweier Funktionen ist ohne Weiteres durch das folgende Vorgehen m\366glich. Beispiel:f := x -> x^2; g := x -> -2*x+1; 1. M\366glichkeit: fplusg := f+g: fplusg(z); (Addition zweier Funktionen) fminusg := f-g: fminusg(z); (Subtraktion zweier Funktionen) fmalg := f*g: fmalg(z); (Multiplikation zweier Funktionen) fdurchg := f/g: fdurchg(z); (Division zweier Funktionen) fog := f@g: fog(z); (Komposition zweier Funktionen) 2. M\366glichkeit: fplusg := x -> f(x)+g(x): fplusg(z); (Addition zweier Funktionen) fminusg := x -> f(x)-g(x): fminusg(z); (Subtraktion zweier Funktionen) fmalg := x -> f(x)*g(x): fmalg(z); (Multiplikation zweier Funktionen) fdurchg := x -> f(x)/g(x): fdurchg(z); (Division zweier Funktionen) fog := x -> f(g(x)): fog(z); (Komposition zweier Funktionen)

NiM+SSJmRzYiZio2I0kieEdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlKiQ5JCIiI0YlRiVGJQ==NiM+SSJnRzYiZio2I0kieEdGJUYlNiRJKW9wZXJhdG9yR0YlSSZhcnJvd0dGJUYlLCY5JCEiIyIiIkYvRiVGJUYlNiMsKCokSSJ6RzYiIiIjIiIiRiUhIiNGKEYoNiMsKCokSSJ6RzYiIiIjIiIiRiVGJyEiIkYoNiMqJkkiekc2IiIiIywmRiQhIiMiIiJGKUYpNiMqJkkiekc2IiIiIywmRiQhIiMiIiJGKSEiIg==NiMqJCwmSSJ6RzYiISIjIiIiRigiIiM=NiMsKCokSSJ6RzYiIiIjIiIiRiUhIiNGKEYoNiMsKCokSSJ6RzYiIiIjIiIiRiVGJyEiIkYoNiMqJkkiekc2IiIiIywmRiQhIiMiIiJGKUYpNiMqJkkiekc2IiIiIywmRiQhIiMiIiJGKSEiIg==NiMqJCwmSSJ6RzYiISIjIiIiRigiIiM=

Aufgaben: Verkn\374pfe die folgenden Funktionen mittels Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Komposition a) f(x)=2x^2-2, g(x)=2x+2

Im folgenden zeigen wir die graphische Darstellung von Funktionen in einer reellen Ver\344nderlichen auf, die (optionalen) Darstellungseigenschaften und die M\366glichkeit mehrere Funktionen in einem Diagramm zu plotten. Beispiele:plot((x^7-x^5)/(2*x^6+x^5-2*x^4-3*x^3-x^2+2*x+1), (darzustellende Funktion) x=-2*Pi..2*Pi, (angezeigter Bereich der x-Achse) y=-4..4, (angezeigter Bereich der y-Achse) labels=["x-Achse", "y-Achse"], (Achsenbeschriftung) axes=normal, (Achsen- und Rahmendarstellung: frame, boxed, normal, none. default: normal) title="Name der Abbildung", (Titel der Abbildung. default: no title) legend="f(x)", (Legende der Abbildung. default: no legend) linestyle=SOLID, (Liniendarstellung des Graphens: SOLID, DOT, DASH, DASHDOT, 1, 2, 3, 4. default: SOLID) thickness=2, (Liniendicke des Graphens. default: 0) color=blue, (Linienfarbe des Graphens. default: red) scaling=UNCONSTRAINED, (Skalierung der Abbildung: UNCONSTRAINED, CONSTRAINED. default: CONSTRAINED) discont=true); (Funktion stetig/unstetig. true, false) plot([sin(x), x-x^3/6], (darzustellende Funktion: [Funktion 1, Funktion2]) x=0..2, color=[red, blue], (Linienfarben der Graphen: [Farbe der Funktion 1, Farbe der Funktion2]) style=[point,line]); (Liniendarstellung der Graphen: [Liniendarstellung der Funktion 1, Liniendarstellung der Funktion2])

-%%PLOTG6(-%'CURVESG6)7gn7$$!3?+++3`=$G'!#<$!3)eH@]9-&*R$F,7$$!3Cm<aE$Gr:'F,$!3=G`#3mmjL$F,7$$!3Evz*4#oWZgF,$!3a:uL<$>9G$F,7$$!3;:My'\)4CfF,$!3H,b))e'3'>KF,7$$!3cRw!)RD$**z&F,$!3wnx'=dot:$F,7$$!3c#=^>scjn&F,$!3+N*>AU-a4$F,7$$!3krC**>hyhbF,$!3'**)Hwn,$z.$F,7$$!3_&[_y*[:VaF,$!3G=%\O\'RyHF,7$$!3m$f6#=jY?`F,$!3utX%3\(z;HF,7$$!3C'f,C?r")>&F,$!3M%QF#**HObGF,7$$!3M!\5QkvB2&F,$!3M.*)GL98#z#F,7$$!3Y%\Jt%[dh\F,$!3?U%3'p1SOFF,7$$!33:Mf$RRo$[F,$!3!*>wfS_htEF,7$$!3W^z4k<f6ZF,$!3e%oK)yq^5EF,7$$!3o(od_Y#*3f%F,$!3i/f6x8l\DF,7$$!3q]7rQfG"[%F,$!3O^8IcHK%\#F,7$$!3y<tFxJ&4N%F,$!3.#*\yhFXGCF,7$$!3j8jcKUaSUF,$!3%>CWHvvDP#F,7$$!3PL?X#Q7@6%F,$!3C765LpZ2BF,7$$!3_x8;L%G%)*RF,$!3oW5.D2v\AF,7$$!3cWG&G7*ptQF,$!3Krm!\e)G'=#F,7$$!3SHm_Bt#\v$F,$!3@I67!f:d7#F,7$$!3)Gn44T,5j$F,$!31HYRNMMi?F,7$$!3`BUkP()><NF,$!3h>VK*)4(R+#F,7$$!3-'H?.=ZWR$F,$!3h5#zw5)yS>F,7$$!3!fUd4"G%pE$F,$!3QANB@m([(=F,7$$!3C`\g#))\f:$F,$!3YKBhkpA<=F,7$$!3:ZOBzW2OIF,$!3Ss#>U$)GYv"F,7$$!3QGWtd9B7HF,$!3_W335*H&*o"F,7$$!3E$*\>A_2"z#F,$!3c\!pT!QMD;F,7$$!3MFIdM.&Qn#F,$!3ys(z%p@oi:F,7$$!3OV];$3#pVDF,$!3WdoX'yPB\"F,7$$!3RuGD0"RnU#F,$!3$=N#4&G.$G9F,7$$!3QH$=#Qo'=I#F,$!3az%)4M3*)e8F,7$$!3o+ph/Sr)=#F,$!33X.uy"z[H"F,7$$!3[<1"*p!3]1#F,$!3)yG<64RMA"F,7$$!3/I4)fU5'[>F,$!3oE,6"o`X:"F,7$$!33,yh\8%p#=F,$!3o(oLdl![!3"F,7$$!3J=/R)e()zq"F,$!3bQ9ld.k05F,7$$!3!><YW-aMe"F,$!3[pqgj>$HC*!#=7$$!3q'p-7S8NY"F,$!3n2.heVnE%)F\x7$$!3^'=G0zc3M"F,$!3y*>O&QkPcvF\x7$$!3/[!=&Qe@>7F,$!3W(fL4(\afmF\x7$$!36&HhnVSu5"F,$!3xX!H9t(=9eF\x7$$!3K!R/]7KLz*F\x$!3mt<S,TeX[F\x7$$!3UHAWRe_Z')F\x$!3G"\-")=ob-%F\x7$$!3Dmepbt&eU(F\x$!3')[G=[x*>I$F\x7$$!3+!=Ib/67%oF\x$!3;*z&y+tX#3$F\x7$$!3w$\k`tklD'F\x$!3#)R#QnAnU1$F\x7$$!3qqL-$eBC%fF\x$!39F$*H+tZ\KF\x7$$!3lZAoICGGcF\x$!3;)*p%fJSX"QF\x7$$!37'o6X&=@raF\x$!3c-<,qK%*pWF\x7$$!3gC6My799`F\x$!3_<rz&3O_'eF\x7$$!3$Q%eD!*fgN_F\x$!3@"[Rul&*3I(F\x7$$!31j0<-22d^F\x$!3OBPA(416-"F,7$$!38Az7eI!y6&F\x$!3$*4"3K,<SJ"F,7$$!3?"G&39a`y]F\x$!3;$[!f?Xp,>F,7$$!3PTE/qxER]F\x$!3/)[]s$yPoOF,7$$!3V+++E,++]F\x$!3WQqs,HH-6!#67ao7$$!3++++!)******\F\x$"3^r+P1UWWpF\^l7$$!37@;,kDy*)\F\x$"3A\H#*H^TY8!#;7$$!3!GCB![^cz\F\x$"35ne@Be&zm'F,7$$!3Yk[.KxMp\F\x$"3.RmK0(eGS%F,7$$!39'[YgJI"f\F\x$"3q'z!>go`qKF,7$$!3#*G(pS[&pQ\F\x$"3RKZ$)olmQ@F,7$$!3qrH4_1E=\F\x$"3gy,gT*zJd"F,7$$!3Ed%R"))4Rx[F\x$"3bF@[%3!e35F,7$$!3$G%f=C8_O[F\x$"3]U7YI#R:F(F\x7$$!3_9*yi*>yaZF\x$"3=P/C[eLuWF\x7$$!3?')=PoE/tYF\x$"3)QT0]grA4$F\x7$$!3D)pjSw+3`%F\x$"3=9a&\E.:'=F\x7$$!3u4bvf)e&)Q%F\x$"3Z+8-"H-uA"F\x7$$!3MhOtjqioSF\x$"3V)>J"\*>wg&!#>7$$!3gnC4_XdYPF\x$"3KI)*[b0f(z#Febl7$$!3'H>A)*p_gU$F\x$"3V\\EP9aT9Febl7$$!3WKY68z))GJF\x$"3'=OUZ+$Hvx!#?7$$!3ud^$*))4>@GF\x$"3]%y"[%ya6,%Fecl7$$!3vXPy*QqH]#F\x$"3b&))>NgBn$>Fecl7$$!3g7'H"G.x&=#F\x$"3U<g`P+Ys()!#@7$$!3w!pue2"\f=F\x$"3A^"f_9wo^$Fedl7$$!3Ac5*G8/@d"F\x$"3!p^bz*3H&R"Fedl7$$!3U,Q]-Xd[7F\x$"3y$R%z_wYOS!#A7$$!3P**3q$GkrB*Febl$"39xT(4(*eCC)!#B7$$!3F!>\?zal5'Febl$"3oP^9)*[eq'*!#C7$$!3;S-)eXhOE$Febl$"3M)Q'>Z0>hR!#D7$$"3a4;b8p8o6Fecl$!3!e_bC"y(*p@!#K7$$"3)Rh=(e&>0)HFebl$!3dFyu!)y&)>AFgfl7$$"3x%[&eo-p6jFebl$!3)*\F[&Q#H'*))Fafl7$$"3o:C(>zS.E*Febl$!3#4Lx1qO-v&F[fl7$$"33R&4_xZ&\7F\x$!3/Z-jdP$>W#Feel7$$"3#=/Q"=$4wb"F\x$!3dn0'H;hr,(Feel7$$"3K&*eS?#R!z=F\x$!3W]5Z9h+9<Fedl7$$"3?nPC5A@u@F\x$!3n'R!H)338U$Fedl7$$"3SU(pi:'f#\#F\x$!3'eu9_qA>_'Fedl7$$"3kXG,'f2L#GF\x$!3'zKrqN')G<"Fecl7$$"3v]^\wG>6JF\x$!3!>(3%[twE&=Fecl7$$"3=@5Hmo6AMF\x$!3V2k`yDf-HFecl7$$"3kYWor<LVPF\x$!3$)o'eGZCfV%Fecl7$$"3/dkf*)yddSF\x$!3c#=m8yxg]'Fecl7$$"3Kf1"p;F;O%F\x$!3E#>a\5#[$>*Fecl7$$"332aQ]?A*p%F\x$!3s9iXns3=8Febl7$$"3J)[E$ogc-]F\x$!3')4'))G$fB!z"Febl7$$"32'zi\b]kK&F\x$!3G>Bjn0YXCFebl7$$"3Qj^bQ!Q*>cF\x$!3b-eoNU**3KFebl7$$"3ZSXKytzSfF\x$!3)>]+(G_$*yUFebl7$$"3OgW*=,,FC'F\x$!3Cl[PBwCsbFebl7$$"3'e#Hb)Hx#elF\x$!3l*G/)*zC0J(Febl7$$"3gn^&3!3"o'oF\x$!3(f7#RE')G8&*Febl7$$"3y=)oVy;)*=(F\x$!3eknoMV@a7F\x7$$"3bRUmO*44](F\x$!3h(y&\`]?V;F\x7$$"3qqe1<w/>yF\x$!3iYE$H$f&R=#F\x7$$"3*)G&\o&4bM")F\x$!32%pkdiNl$HF\x7$$"3rA9?fdYC%)F\x$!3C3\'3S20$RF\x7$$"3mb`cR3uc()F\x$!3Ue/of4J'p&F\x7$$"3%p%G_K;$R0*F\x$!3Y%3)f!3PbR)F\x7$$"3mnGb.!*zq$*F\x$!3G))zxU&)H>9F,7$$"36"\tiDSC_*F\x$!3QgxZRqOu>F,7$$"3c9T**3:3u'*F\x$!3m*>)=$G(=^IF,7$$"3]&eXn7hbv*F\x$!3W)*[ZPb\%=%F,7$$"3Xcq\W2/P)*F\x$!3MFLaUB=akF,7$$"3[#zsLb!yx)*F\x$!3**z&yi&4TD()F,7$$"3^G&[AO?&=**F\x$!3\g*3v\TpK"Fh^l7$$"3`'R'om-*)Q**F\x$!3Al'[#e$>9y"Fh^l7$$"3akU7r,Ef**F\x$!3eb"G;__/p#Fh^l7$$"3+)>VL7X%p**F\x$!3[^;)4EC&*f$Fh^l7$$"3WJ@cv+jz**F\x$!3M^)QLv0xT&Fh^l7$$"3+m5yF]")*)**F\x$!3I!f"3&4Ks3"!#:7$$"2%******z********F,$!3++++])R9!=!#57gn7$$"3(******H,+++"F,$"3=G9dG%GQO)F\^l7$$"3+Vk88()f.5F,$"3E?IK#H)pCJFh^l7$$"3E')GF8u>25F,$"3!)[DN)Rx5e"Fh^l7$$"3^H$4M6'z55F,$"3sMiu"3Gm1"Fh^l7$$"3xsda8[R95F,$"3u-u,d]s%4)F,7$$"31f'=Q@#f@5F,$"3/&*yX!)zbCbF,7$$"3NX:49'*yG5F,$"3G:=$f'*o3C%F,7$$"3#zJPYT%=V5F,$"3u[p52^)*fHF,7$$"3]!4$=:#zv0"F,$"3Fm:^BtOABF,7$$"3)ejui")oj3"F,$"37HE+hgX!p"F,7$$"3E"=mtTe^6"F,$"3![5,hSw-Q"F,7$$"3On8JtxDl6F,$"3q`kxXO$z5"F,7$$"3[`lDHrN:7F,$"3Bc)y]4&))>(*F\x7$$"3R:MBg5/G8F,$"3$z[)>&eUzT)F\x7$$"3J-1XL>ZT9F,$"3`ocwVdIL!)F\x7$$"3!*yw_*ojVb"F,$"3qdetA1O9!)F\x7$$"3k)zh&)zG!f;F,$"3'*RA]'*)Q9;)F\x7$$"3W8p_cMSn<F,$"3&H?AtHz>T)F\x7$$"3C&)f#Go%[z=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Bemerke: Wir haben f\374r die Darstellung von Funktionen nur eine "geeignete" Auswahl an optionalen Argumenten gew\344hlt. Weitere Eigenschaften findet man in der Maple-Hilfe in "plot[options]".

Wir k\366nnen in Maple ebenso eine Schar von Funktionen definieren. Diese lassen mithilfe der Funktion "animate(plot,[Funktion(Variable,Scharparameter),Variable=xmin..xmax],Scharparameter=smin..smax)" in Form eines Videos abspielen. Diese Funktion ist im Paket "plots" enthalten, das vorweg eingebunden werden muss. Beispiel:f := (x,b) -> x^3+b*x; with(plots): animate(plot,[f(x,b),x=-22..22],b=-280..180);

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Wir f\374hren abschlie\337end einige spezielle Funktionen auf. Beispiele:abs(x); (Absolutbetrag) binomial(n,k); (Binomialkoeffizient, "n \374ber k") exp(x); (Exponentialfunktion) factorial(x); (Fakult\344tsfunktion) log[b](x); (Logarithmusfunktion zur Basis b) max(x,y); (Maximumsfunktion) min(x,y); (Minimumsfunktion) ln(x); (nat\374rlicher Logarithmus) sqrt(x); (Quadratwurzelfunktion) root[n](x): (Wurzelfunktion, "n-te Wurzel aus x", siehe auch: "surd(x,n)") ceil(x); (Rundungsfunktion, zum "Aufrunden") floor(x); (Rundungsfunktion, zum "Abrunden") round(x); (Rundungsfunktion, zum allgemeinen "Runden") sin(x); (Sinus-Funktion) arcsin(x); (Arcus-Sinus-Funktion) cos(x); (Cosinus-Funktion) arccos(x); (Arcus-Cosinus-Funktion) tan(x); (Tangens-Funktion) arctan(x); (Arcus-Tangens-Funktion) signum(x); (Signumfunktion, Vorzeichenfunktion)

NiMtSSRhYnNHSSpwcm90ZWN0ZWRHRiU2I0kieEc2Ig==NiMtSSliaW5vbWlhbEc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0YmSShfc3lzbGliRzYiNiRJIm5HRihJImtHRig=NiMtSSRleHBHNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYjSSJ4R0YoNiMtSSpmYWN0b3JpYWxHSSpwcm90ZWN0ZWRHRiU2I0kieEc2Ig==NiMqJi1JI2xuRzYkSSpwcm90ZWN0ZWRHRidJKF9zeXNsaWJHNiI2I0kieEdGKSIiIi1GJTYjSSJiR0YpISIiNiMtSSRtYXhHSSpwcm90ZWN0ZWRHRiU2JEkieEc2IkkieUdGKA==NiMtSSRtaW5HSSpwcm90ZWN0ZWRHRiU2JEkieEc2IkkieUdGKA==NiMtSSNsbkc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0YmSShfc3lzbGliRzYiNiNJInhHRig=NiMqJEkieEc2IiMiIiIiIiM=

NiMtSSVjZWlsRzYkSSpwcm90ZWN0ZWRHRiZJKF9zeXNsaWJHNiI2I0kieEdGKA==NiMtSSZmbG9vckc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0YmSShfc3lzbGliRzYiNiNJInhHRig=NiMtSSZyb3VuZEc2JEkqcHJvdGVjdGVkR0YmSShfc3lzbGliRzYiNiNJInhHRig=NiMtSSRzaW5HNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYjSSJ4R0YoNiMtSSdhcmNzaW5HNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYjSSJ4R0YoNiMtSSRjb3NHNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYjSSJ4R0YoNiMtSSdhcmNjb3NHNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYjSSJ4R0YoNiMtSSR0YW5HNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYjSSJ4R0YoNiMtSSdhcmN0YW5HNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYjSSJ4R0YoNiMtSSdzaWdudW1HNiRJKnByb3RlY3RlZEdGJkkoX3N5c2xpYkc2IjYjSSJ4R0Yo

Bemerke: Weitere Funktionen findet man durch den Aufruf "?FunctionAdvisor".